Question

14．已知M=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{array}]$，α=$[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$，試計算M⁵α．

Answer 1

分析 根據題意確定出M的特征多次式，進而求出λ的值，得到對應的特征向量，表示出α，即可求出所求式子的值．

解答 解：矩陣M的特征多次式為f（λ）=（λ-1）²-4=0，
解得：λ₁=3，λ₂=-1，
對應的特征向量分別為[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$]和[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}$]，
∵α=[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$]+2[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}$]，
∴M⁵α=3⁵[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$]+2×（-1）⁵[$\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}$]=[$\underset{\stackrel{{3}^{5}+2}{\;}}{-{3}^{5}+2}$]=[$\underset{\stackrel{245}{\;}}{-241}$]．

點評 此題考查了特征值、特征向量的應用，確定出對應的特征向量是解本題的關鍵．