Question

14．已知（1+px）（1-x+x²）⁸的展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)是42，則p的值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先利用通項(xiàng)公式求出（1-x+x²）⁸展開式中x⁴項(xiàng)與x³項(xiàng)的系數(shù)是什么，
再求（1+px）（1-x+x²）⁸的展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求p的值．

解答 解：∵（1-x+x²）⁸=[1+（x²-x）]⁸，
其展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（x²-x）^r；
當(dāng)r=0、1時(shí)，展開式中x⁴項(xiàng)與x³項(xiàng)不存在；
當(dāng)r=2時(shí)，展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{8}^{2}$，x³項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{8}^{2}$•（-${C}_{2}^{1}$）；
當(dāng)r=3時(shí)，展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{8}^{3}$•${C}_{3}^{2}$，x³項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{8}^{3}$•（-${C}_{3}^{3}$）；
當(dāng)r=4時(shí)，展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)是${C}_{8}^{4}$•${C}_{4}^{4}$，x³項(xiàng)不存在；
當(dāng)r=5、6、7、8時(shí)，展開式中x⁴項(xiàng)與x³項(xiàng)不存在；
∴（1+px）（1-x+x²）⁸的展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)是
（${C}_{8}^{2}$+${C}_{8}^{3}$•${C}_{3}^{2}$+${C}_{8}^{4}$）+[${C}_{8}^{2}$•（-${C}_{2}^{1}$）+${C}_{8}^{3}$•（-1）]p=42，
解得p=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理以及二項(xiàng)式展開式中通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．