Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx，其中a為正常數(shù)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$，令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=3x-2x²+ln x，該函數(shù)的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+3=$\frac{-4x2+3x+1}{x}$=$\frac{-（4x+1）（x-1）}{x}$ （x＞0）．…（2分）
當x∈（0，1），f′（x）＞0時，函數(shù)f（x）=3x-2x²+ln x單調(diào)遞增．
當x∈（1，+∞），f′（x）＜0時，函數(shù)f（x）=3x-2x²+ln x單調(diào)遞減．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．…（6分）
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
即在區(qū)間[2，4]上，f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$≥0，
即$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$≥0在[2，4]上恒成立．…（8分）
即$\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$．
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因為函數(shù)h（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，
所以$h{（x）_{max}}=h（4）=\frac{63}{4}$，即$\frac{3}{a}$≥$\frac{63}{4}$，…（10分）
解之得$0＜a≤\frac{4}{21}$，∴實數(shù)a的取值范圍為$\left\{{a|0＜a≤\frac{4}{21}}\right\}$．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．