Question

已知數列滿足對任意的，都有且.

（1）求的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）設數列的前項和為，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1） （2）.（3）

【解析】

試題分析：（1）當， 時直接代入條件且可求

（2）遞推一項，然后做差得，所以

由于a2－a1＝1，即當時都有

所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，故

（3）由（2）知則

利用裂項相消法得Sn,根據單調遞增得

要使不等式對任意正整數恒成立，只要

可求得實數的取值范圍是.

試題解析：(（1）當時，有，由于，所以

當時，有，將代入上式，由于，所以

（2）由于，①

則有②

②－①，得

由于，所以③

同樣有()，④

③－④，得，所以

由于a2－a1＝1，即當時都有

所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，故

（3）由（2）知

則

所以

∵∴數列單調遞增．

所以

要使不等式對任意正整數恒成立，只要

∵

∴，即.所以，實數的取值范圍是.

考點：不等式與數列綜合題.