Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得單調(diào)區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，

令，得，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，

可得不等式在上恒成立．

設(shè)，

則

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上恒成立，所以在上是增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，總有，不符合題意．

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上恒成立，所以在上是減函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，總有，符合題意．

③當(dāng)時(shí)，令，解得，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，總有，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．