Question

15．利用不等式性質(zhì)“若a-b＞0，則a＞b”，可以用來(lái)比較兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)式子的大小
（1）設(shè)a≥0，b≥0，試探索$\frac{a+b}{2}$與$\sqrt{ab}$的大小關(guān)系并結(jié)合上述性質(zhì)加以證明；
（2）若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂=1，求證：1≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，作差并配方即可證明，
（2）由基本不等式可得到2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤x₁+x₂=1，同時(shí)加上1即可得到1≤x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2，配方即可證明．

解答 解：（1）∵a≥0，b≥0，
∴$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}}{2}$≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
（2）由基本不等式知0≤2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤x₁+x₂=1，
于是有1≤x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2，
即1≤（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$）²≤2，
∴1≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作差法比較大小以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．