Question

7．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，PB=BC，PA=AB=1．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）求直線BE與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥PC，PC⊥BE得出PC⊥平面BDE；
（2）由PC⊥BD，PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故∠BED為BE與平面PAC所成的角，利用勾股定理計算BE，DE得出cos∠BED．

解答 證明：（1）∵DE垂直平分線段PC，
∴PC⊥DE，
∵PB=BC，E是PC的中點，
∴PC⊥BE，
又DE?平面BDE，BE?平面BDE，DE∩BE=E，
∴PC⊥平面BDE．
（2）∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD，
∵PA⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴PA⊥BD，
又PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA=P，
∴BD⊥平面PAC，
∴∠BED為直線BE與平面PAC所成的角，
∵PA=AB=1，AB⊥BC，∴PB=BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴PC=2，∴CE=$\frac{1}{2}$PC=1，∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=1，
∵sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{BD}{\sqrt{2}}$，∴BD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴cos∠BED=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線BE與平面PAC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計算，屬于中檔題．