Question

17．已知等差數列{a_n}的公差大于零，且a₂、a₄是方程x²-18x+65=0的兩個根；各項均為正數的等比數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤6}\\{_{n}，n＞6}\end{array}\right.$，求數列的前項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差d＞0，依題意知a₂+a₄=18，a₂•a₄=65，可求得a₂=5，與d=4，從而可得數列{a_n}的通項公式；同理，可求得等比數列{b_n}的通項公式；
（2）由于數列{c_n}滿足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤6}\\{_{n}，n＞6}\end{array}\right.$，分n≤6與n＞6討論，分別利用等差數列與等比數列的求和公式即可求得數列{c_n}的前項和T_n．

解答 解：（1）依題意等差數列{a_n}的公差d＞0，
且a₂+a₄=18，a₂•a₄=65，解得：a₄=13，a₂=5，
由a₄=a₂+2d得：d=4，
∴a_n=a₂+（n-2）×4=4n-3．
∴a₃=9，
依題意，公比為q（q＞0）的等比數列{b_n}中，b₃=a₃=9，S₃=b₁+b₂+9=13，
即$\left\{\begin{array}{l}{{_{1}q}^{2}=9}\\{_{1}{+b}_{1}q=4}\end{array}\right.$，
解得：b₁=1，q=3，故b_n=3^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤6}\\{_{n}，n＞6}\end{array}\right.$，數列{c_n}的前項和為T_n，
∴當n≤6時，T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{[1+（4n-3）]n}{2}$=2n²-n；
當n＞6時，T_n=（a₁+a₂+…+a₆）+（S_n-S₆）
=（2×6²-6）+（$\frac{1{-3}^{n}}{1-3}$-$\frac{1{-3}^{6}}{1-3}$）=66+（$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{{3}^{6}}{2}$）=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{597}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2n}^{2}-n，1≤n≤6}\\{\frac{{3}^{n}-597}{2}，n＞6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列的求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式與求和公式的應用，考查方程思想與分類討論思想的綜合運用，屬于中檔題．