Question

已知函數(shù)R）.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；

（3）當，且時，證明：

 

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）欲求a的值，根據(jù)在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可得．

（2）先求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，最后求出極值即可．

（3）由（2）知，當a=1時，函數(shù)f(x)＝，在[1，+∞）上是單調減函數(shù)，且f(1)＝＝1，從而證得結論．.

試題解析：【解析】
（1）函數(shù)

所以又曲線處的切線與直線平行，所以 4分；

（2）令

當x變化時，的變化情況如下表：

	+	0	—
		極大值

由表可知：的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是

所以處取得極大值， 8分；

（3）當由于

只需證明

令

因為，所以上單調遞增，

當即成立。

故當時，有 12分；

考點：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；3.利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．