Question

15．某縣電視臺決定于2015年元旦前夕舉辦“弘揚核心價值觀，激情唱響中國夢”全縣歌手大獎賽，比賽分初賽演唱部分和決賽問答題部分，各位選手的演唱部分成績頻率分布直方分布圖（1）如圖：已知某工廠的6名參賽人員的演唱成績得分（滿分10分）如莖葉圖（2）（莖上的數(shù)字為整數(shù)部分，葉上的數(shù)字為小數(shù)部分）．
（1）根據(jù)頻率分布直方分布圖和莖葉圖評估某工廠6名參賽人員的演唱部分的平均水平是否高于全部參賽人員的平均水平？（計算數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點后三位數(shù)）
（2）已知初賽9.0分以上的選手才有資格參加決賽，問答題部分為5道題，選手對其依次回答，累計答對3題或答錯3題即結(jié)束比賽，答對3題者直接獲獎，已知該工廠參賽人員甲進入了決賽且答對每道題的概率為這6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各題對錯互不影響，設甲決賽獲獎答題的個數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用概率和為1，求出a，即可得出結(jié)論；
（2）確定X的取值為3，4，5，求出相應的概率，即可求X的分布列及X的數(shù)學期望．

解答 解：（1）由題意（2a+0.25+0.375+0.5+0.625）×0.5=1，
∴a=0.125，（2分）
全部參賽人員的整體水平為（0.125×$\frac{7.0+7.5}{2}$+0.25×$\frac{7.5+8.0}{2}$+0.625×$\frac{8.0+8.5}{2}$+0.5×$\frac{8.5+9.0}{2}$+0.375×$\frac{9.0+9.5}{2}$+0.125×$\frac{9.5+10}{2}$）×0.5≈8.531．（4分）
根據(jù)莖葉圖估計，中位數(shù)為8.85，數(shù)據(jù)集中在9.0以上，
所以某工廠的參賽6名人員的演唱水平顯然高于全部參賽人員的平均水平．（5分）
（2）從這6位抽取2位的基本事件總數(shù)為C${\;}_{6}^{2}$，分差大于0.5的基本事件為除數(shù)據(jù)（8.6，8.7），（8.6，9.0），（9.2，9.6），（9.2，9.0），（8.7，9.0），（9.2，8.7）外的9個基本事件，故概率為P=$\frac{9}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．（7分）
依題意，X的取值為3，4，5，則P（X=3）=$（\frac{3}{5}）^{3}+（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{35}{125}$；
P（X=4）=${C}_{3}^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}•\frac{2}{5}•\frac{3}{5}$+${C}_{3}^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}•\frac{3}{5}•\frac{2}{5}$=$\frac{234}{2{5}^{2}}$；
P（X=5）=${C}_{4}^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}•\frac{3}{5}$+${C}_{4}^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}•\frac{2}{5}$=$\frac{216}{2{5}^{2}}$．（10分）

X	3	4	5
P	$\frac{35}{125}$	$\frac{234}{2{5}^{2}}$	$\frac{216}{2{5}^{2}}$

所以EX=3×$\frac{35}{125}+4×\frac{234}{2{5}^{2}}+5×\frac{216}{2{5}^{2}}$=$\frac{2541}{625}$．（12分）

點評 本題考查頻率分布直方分布圖，考查莖葉圖，考查分布列與期望的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．