1.已知函數(shù)f(x)=|x+1|.
(1)求不等式f(x)+1<f(2x)的解集M;
(2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b).

分析 (1)把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組,求出每個(gè)不等式組的解集,再取并集,即得所求.
(2)由題意可得|a+1|>0,|b|-1>0,化簡f(ab)-[f(a)-f(-b)]為|a+1|•(|b|-1|)>0,從而證得不等式成立.

解答 (1)解:不等式f(x)+1<f(2x)即|x+1|<|2x+1|-1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x<-1}\\{-x-1<-2x-1-1}\end{array}\right.$①,或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤-\frac{1}{2}}\\{x+1<-2x-1-1}\end{array}\right.$②,或$\left\{\begin{array}{l}{x>-\frac{1}{2}}\\{x+1<2x+1-1}\end{array}\right.$③.
解①求得x<-1;解②求得x∈∅;解③求得x>1.
故要求的不等式的解集M={x|x<-1或 x>1}.
(2)證明:設(shè)a,b∈M,∴|a+1|>0,|b|-1>0,
則 f(ab)=|ab+1|,f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|.
∴f(ab)-[f(a)-f(-b)]=f(ab)+f(-b)-f(a)=|ab+1|+|1-b|-|a+1|
=|ab+1|+|b-1|-|a+1|≥|ab+1+b-1|-|a+1|=|b(a+1)|-|a+1|
=|b|•|a+1|-|a+1|=|a+1|•(|b|-1|)>0,
故f(ab)>f(a)-f(-b)成立.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值三角不等式,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x123
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