Question

12．若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：（i）直線l在點(diǎn)P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過”曲線C，下列命題正確的是③④（寫出所有正確命題的編號）．
①直線l：y=x+1在點(diǎn)P（0，1）處“切過”曲線C：y=e^x
②直線l：y=x-1在點(diǎn)P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx
③直線l：y=-x+π在點(diǎn)P（π，0）處“切過”曲線C：y=sinx
④直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³．

Answer 1

分析 分別求出每一個命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)P出的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點(diǎn)P處的切線方程，再由曲線在點(diǎn)P兩側(cè)的函數(shù)值與對應(yīng)直線上點(diǎn)的值的大小判斷是否滿足（ii），即可得出正確的選項．

解答 解：對于①，函數(shù)y=e^x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=y=e^x，則f′（0）=1，則切線方程為y=x+1，
設(shè)g（x）=e^x-（x+1），則g′（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，
當(dāng)x＜0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，
則當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值g（0）=1-1=0，
則g（x）≥g（0）=0，即e^x≥x+1，則曲線不在切線的兩側(cè)，故①錯誤．
對于②，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，
g′（x）＞0．則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，故命題②錯誤，
對于③，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=π=-1，直線y=-x+π是過點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＞sinx，
滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=-x+π兩側(cè)，故命題③正確；
對于④，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點(diǎn)P（0，0）的曲線C的切線，
又當(dāng)x＞0時y＞0，當(dāng)x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，故命題④正確；
綜上，以上正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．