Question

17．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（1）記F（x）=f（x）-g（x），證明：F（x）在（1，2）區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根；
（2）證明：對(duì)?x∈（0，+∞），xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證出結(jié)論即可；
（2）構(gòu)造令h（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$，確定單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）F（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$，定義域是（0，+∞），
F′（x）=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（1，2）遞增，
又F（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，F(xiàn)（2）=2ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
而F（x）在（1，+∞）上連續(xù)，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得：F（x）=0在區(qū)間（1，2）有且只有1個(gè)實(shí)根；
（2）令h（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{e}$，定義域是（0，+∞），
h′（x）=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，x＞1時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
∴h（x）＞h（1）=$\frac{1}{e}$＞0，
∴對(duì)?x∈（0，+∞），xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．