Question

2．已知a∈R．命題p：函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-2x+a}$的定義域為實數(shù)集R，命題q：函數(shù)g（x）=2^x-a（x≤2）的值域為正實數(shù)集的子集．若“p∨q”是真命題，且“p∧q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，通過討論p，q的真假，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}-2x+a}$的定義域為實數(shù)集R，
則△=4-4a≤0，解得：a≥1，
故p為真時：a≥1；
-a＜g（x）≤4-a，
而g（x）=2^x-a（x≤2）的值域為正實數(shù)集的子集，
即（-a，4-a）⊆（0，+∞），
則4-a＞0且-a≥0，
故q為真時：a≤0，
若“p∨q”是真命題，且“p∧q”是假命題，
則p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a≤0}\end{array}\right.$，
故a≥1或a≤0．

點評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．