Question

13．設(shè)a為實(shí)數(shù)，f（x）=x²+|x-a|+1
（Ⅰ）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）對于函數(shù)y=m（x），在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]，如果存在x₀∈（a，b）滿足$m（{x_0}）=\frac{m（b）-m（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)m（x）是區(qū)間[a，b]上的平均值函數(shù)，x₀是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如函數(shù)y=x²是[-1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有g(shù)（x）=-x²+mx+1是[-1，1]上的平均值函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，從而求出a的值即可；
（Ⅱ）利用題目所給的方法進(jìn)行解答即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化簡整理，得ax=0在R上恒成立，
∴a=0
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=-x²+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，
所以存在x₀∈（-1，1），使$\frac{g（1）-g（-1）}{1-（-1）}$=g（x₀），
而$\frac{g（1）-g（-1）}{1-（-1）}$=m，存在x₀∈（-1，1），使得g（x₀）=m，
亦即關(guān)于x方程-x²+mx+1=m在（-1，1）有解
由-x²+mx+1-m在=0解得x₁=1，x₂=m-1，所以必有-＜m-1＜1
即0＜m＜2． 
所以m取值范圍是（0，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，閱讀題目的能力，計(jì)算的能力，屬于綜合題．