Question

5．以下說法正確的有①③
①若f（x+2）=f（x-2），x∈R，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
②若f（x+2）=-f（x），x∈R，則函數(shù)y=f（x）不一定是周期函數(shù)；
③若f（x+2）=-f（x），x∈R，且f（x）是奇函數(shù)，則直線x=5是函數(shù)y=f（x）的一條對(duì)稱軸；
④若f（x+2）=2f（x），x∈R，且x∈[-1，1]時(shí)，$f（x）=cos\frac{πx}{2}$，函數(shù)$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}，\;\;\;x≤0\\ lnx，x＞0\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[-3，3]上有4個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 利用周期函數(shù)的定義，判斷①②③；作函數(shù)f（x）與g（x）在[-3，3]上的圖象，從而可得函數(shù)f（x）與g（x）在[-3，3]上有8個(gè)交點(diǎn)，從而解得．

解答 解：①若f（x+2）=f（x-2），x∈R，則f（x+4）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，正確；
②若f（x+2）=-f（x），x∈R，則f（x+4）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，不正確；
③若f（x+2）=-f（x），x∈R，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x+2）=f（-x），x=1是函數(shù)y=f（x）的一條對(duì)稱軸，因?yàn)閒（x+4）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）是周期為4的周期函數(shù)，所以直線x=5是函數(shù)y=f（x）的一條對(duì)稱軸，正確；
④作函數(shù)f（x）與g（x）在[-3，3]上的圖象如下，

由圖象可知，函數(shù)f（x）與g（x）在[-3，3]上有3個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間[-3，3]上有3個(gè)零點(diǎn)，不正確．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性、奇偶性，數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．