Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_2}x}|，0＜x＜2\\ sin（{\frac{π}{4}x}），2≤x≤10\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$的取值范圍是（9，21）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10，由此可得$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$的取值范圍．

解答 解：函數(shù)的圖象如圖所示，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴l(xiāng)og₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10
∴$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=x₃x₄-（x₃+x₄）+1=x₃x₄-11，
∵2＜x₃＜x₄＜10
∴$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$的取值范圍是（9，21）．
故答案為：（9，21）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．