已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足:,其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
(Ⅰ)若數(shù)列{an}前三項(xiàng)成等差數(shù)列,求的值;
(Ⅱ)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
(1)
(2) λ≠-6時(shí),數(shù)列{bn}是以-(λ+6)為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列.
(3) λ的取值范圍是(-b-6, -3a-6)
解析試題分析:(Ⅰ)證明:,
由條件可得,所以 (4分)
(Ⅱ)解:因?yàn)?i>bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+9]=(-1)n+1(an-2n+6)
=(-1)n·(an-3n+9)=-bn
又b1=,所以
當(dāng)λ=-6時(shí),bn=0(n∈N+),此時(shí){bn}不是等比數(shù)列,
當(dāng)λ≠-6時(shí),b1=≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).
故當(dāng)λ≠-6時(shí),數(shù)列{bn}是以-(λ+6)為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列. (10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)λ=-6,bn=0,Sn=0,不滿(mǎn)足題目要求.
∴λ≠-6,故知bn= -(λ+6)·(-)n-1,于是可得
Sn=
要使a<Sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立,
即a<-(λ+6)·[1-(-)n]<b(n∈N+)
①
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),1<f(n)
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是,由①式得a<-(λ+6)<
當(dāng)a<b3a時(shí),由-b-6-3a-6,不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題目要求;
當(dāng)b>3a時(shí)存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b,
且λ的取值范圍是(-b-6, -3a-6) (16分)
考點(diǎn):等差數(shù)列和等比數(shù)列
點(diǎn)評(píng):熟練的根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和求和來(lái)求解,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10,且成等比數(shù)列
(1)求通項(xiàng)公式(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和
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已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 .
(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:;
(3)是否存在非零整數(shù),使不等式
對(duì)一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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已知數(shù)列的首項(xiàng)為,對(duì)任意的,定義.
(Ⅰ) 若,
(i)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(ii)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅱ)若,且,求數(shù)列的前項(xiàng)的和.
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(本題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)在中是否存在使得是中的項(xiàng),若存在,請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的一項(xiàng)(不要求寫(xiě)出所有的項(xiàng));若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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(本題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列,為前項(xiàng)和,和的等差中項(xiàng)為,且.令數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,且構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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已知數(shù)列滿(mǎn)足:,其中為的前n項(xiàng)和.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求的前n項(xiàng)和.
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(本小題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列滿(mǎn)足條件:,
(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列;
(2)若,令, 記
證明:
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