Question

設Z₁是虛數(shù)，Z₂=Z₁+

1

Z1

是實數(shù)，且-1≤Z₂≤1．
（1）求|Z₁|的值以及Z₁的實部的取值范圍；
（2）若ω=

1-Z1

1+Z1

．求證ω為純虛數(shù)．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）設z₁=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），則z2=z1+

1

z1

=（a+

a

a2+b2

）+（b-

b

a2+b2

），由z₁是實數(shù)，得a²+b²=1，由此求出z₁的實部的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]．
（2）ω=

1-Z1

1+Z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=

b

a+1

i，由此能證明ω=

1-Z1

1+Z1

是純虛數(shù)．

解答： （1）解：設z₁=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），
則z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=（a+

a

a2+b2

）+（b-

b

a2+b2

）i，
∵z₂是實數(shù)，b≠0，∴a²+b²=1，即|z₁|=1，且z₂=2a，
由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
即z₁的實部的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]．
（2）證明：ω=

1-Z1

1+Z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=

b

a+1

i，
∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，
∴ω=

1-Z1

1+Z1

是純虛數(shù)．

點評：本題考查復數(shù)的實部的取值范圍的求法，考查純虛數(shù)的證明，解題時要注意復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算法則的合理運用．