Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{4+{x^2}}$，則?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|{x_1}-{x_2}|}}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [0，1]
• C． （0，1）
• D． [0，1）

Answer 1

分析 將函數(shù)兩邊平方，可得焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的上支，由于雙曲線的漸近線為y=±x，可得函數(shù)f（x）的圖象上不同的兩點(diǎn)連線的斜率范圍為（-1，1），可得所求取值范圍．

解答 解：∵$y=\sqrt{4+{x^2}}$，
∴兩邊平方可得，y²-x²=4（y＞0），
∴函數(shù)$f（x）=\sqrt{4+{x^2}}$的圖象表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的上支，
由于雙曲線的漸近線為y=±x，
所以函數(shù)f（x）的圖象上不同的兩點(diǎn)連線的斜率范圍為（-1，1），
故$\frac{{|f（{x_1}）-f（{x_2}）|}}{{|{x_1}-{x_2}|}}∈[0，\;\;1）$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的圖象和性質(zhì)，注意運(yùn)用漸近線與雙曲線的關(guān)系，以及雙曲線上兩點(diǎn)的斜率和漸近線斜率的關(guān)系，屬于中檔題．