Question

16．設(shè)曲線f（x）=-e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點處的切線為l₁，總存在曲線g（x）=3ax+2cosx上某點處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，2]
• B． （3，+∞）
• C． $[{-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}}]$
• D． $[{-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]$

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=-e^x-x的導(dǎo)函數(shù)，進一步求得$\frac{1}{{e}^{x}+1}$∈（0，1），再求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)的范圍，然后把過曲線f（x）=-e^x-x上任意一點的切線為l₁，總存在過曲線g（x）=3ax+2cosx上一點處的切線l₂，使得l₁⊥l₂轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．

解答 解：由f（x）=-e^x-x，得f′（x）=-e^x-1，
∵e^x+1＞1，∴$\frac{1}{{e}^{x}+1}$∈（0，1），
由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a-2sinx，
又-2sinx∈[-2，2]，
∴3a-2sinx∈[-2+3a，2+3a]，
要使過曲線f（x）=-e^x-x上任意一點的切線為l₁，
總存在過曲線g（x）=3ax+2cosx上一點處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2+3a≤0}\\{2+3a≥1}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{2}{3}$．
故選D．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，是中檔題．