【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并寫出推理過程;
(2)令,,試比較與的大小,并給出你的證明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意可根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系來進(jìn)行求解,即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,這時(shí)可得到與的關(guān)系式,根據(jù)關(guān)系式的特點(diǎn),可通過構(gòu)造換元,令,從而得出數(shù)列是等差數(shù)列,先求出數(shù)列的通項(xiàng),再求出數(shù)列的通項(xiàng);(Ⅱ)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)可利用錯(cuò)位相減法求出,接著利用作差法進(jìn)行比較,根據(jù)差式的特點(diǎn)這里可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行猜想證明,詳見解析.
試題解析:(Ⅰ)在中,令,可得,即,
當(dāng)時(shí),,∴,
∴,即,
設(shè),則,即當(dāng)時(shí),,
又,∴數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
于是,∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
所以,
由①-②,
得
∴,則
于是只要比較與的大小即可,
(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí),即,
(2)猜想:當(dāng)時(shí),,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時(shí),不等式成立;②假設(shè)時(shí),不等式成立,即;
則當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),不等式成立,
由①和②可知,當(dāng)時(shí),成立,
于是,當(dāng)時(shí),,即.
另證:要證,只要證:,只要證:,
由均值不等式得:,
所以,于是當(dāng)時(shí),,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的最大值;
(2)若在區(qū)間上的最大值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓C過點(diǎn)P(3,2).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)與直線OP平行的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為選拔參加“全市高中數(shù)學(xué)競賽”的選手,某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)競賽”活動(dòng).為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為分)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容和頻率分布直方圖中的值并求出抽取學(xué)生的平均分;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績在分以上(含分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“全市中數(shù)學(xué)競賽”求所抽取的名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并寫出推理過程;
(2)令,,試比較與的大小,并給出你的證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心,AB為直徑),現(xiàn)計(jì)劃對其進(jìn)行改建.在AB的延長線上取點(diǎn)D,OD=80 m,在半圓上選定一點(diǎn)C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2.設(shè)∠AOC=x rad.
(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并指出x的取值范圍;
(2)試問∠AOC多大時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)將100名高二文科生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師對甲、乙兩個(gè)班級的學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,畫出頻率分布直方圖(如下圖).記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2×2列聯(lián)表;
甲班(A方式) | 乙班(B方式) | 總計(jì) | |
成績優(yōu)秀 | |||
成績不優(yōu)秀 | |||
總計(jì) |
(Ⅱ)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為:“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)?
附:.
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn),Q是MN的中點(diǎn),直線l與l1相交于點(diǎn)P.
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)|MN|=2時(shí),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx
(1)若a=2. 求f(x)的極值. (2)若a>0. 求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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