Question

11．不等式（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²≥m-（a-b+3）²對任意實(shí)數(shù)a，b恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 不等式（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²≥m-（a-b+3）²對任意實(shí)數(shù)a，b恒成立，轉(zhuǎn)化為m≤（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²恒成立，轉(zhuǎn)化為求求直線y=x+3上的點(diǎn)與曲線y=$\frac{x}{{e}^{x}}$上的點(diǎn)之間的距離的平方的最小值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)到直線的距離公式即可求出．

解答 解：∵不等式（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²≥m-（a-b+3）²對任意實(shí)數(shù)a，b恒成立，
∴m≤（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²恒成立，
只要m≤[（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²]_min，
∵（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²的幾何意義是點(diǎn)（a，$\frac{a}{{e}^{a}}$）與點(diǎn)（b-3，b）之間的距離的平方，
點(diǎn)（a，$\frac{a}{{e}^{a}}$）在曲線y=$\frac{x}{{e}^{x}}$上，
點(diǎn)（b-3，b）在直線y=x+3上，
問題等價(jià)于求直線y=x+3上的點(diǎn)與曲線y=$\frac{x}{{e}^{x}}$上的點(diǎn)之間的距離的平方的最小值，
∴y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令y′=1，即$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=1，解得x=0，
即曲線y=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x=0處的切線的斜率等于1，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
改點(diǎn)到直線y=x+3的距離即為所求的最小值，
即$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，其平方為$\frac{9}{2}$，
∴m≤$\frac{9}{2}$，
即m的最大值為$\frac{9}{2}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了不等式恒成立的問題，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)到直線的距離公式，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．