Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知R（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}$=1上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．
（1）若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k₁，k₂，求k₁•k₂的值；
（3）試問(wèn)OP²+OQ²是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圓的半徑r，由兩直線垂直和相切的性質(zhì)，可得|OR|=4，解方程可得圓心R的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的方程；
（2）設(shè)出直線OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用韋達(dá)定理，由R在橢圓上，即可得到k₁•k₂的值；
（3）討論①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值36；②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP²+OQ²=36．

解答 解：（1）由圓R的方程知圓R的半徑$r=2\sqrt{2}$，
因?yàn)橹本�OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，
所以$|{OR}|=\sqrt{2}r=4$，即$x_0^2+y_0^2=16$①
又點(diǎn)R在橢圓C上，所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$②
聯(lián)立①②，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2\sqrt{2}}\\{{y_0}=2\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
所以，所求圓R的方程為${（x-2\sqrt{2}）^2}+{（y-2\sqrt{2}）^2}=8$；
（2）因?yàn)橹本�OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x都與圓R相切，
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2\sqrt{2}$，$\frac{{|{{k_2}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_2^2}}}=2\sqrt{2}$，
兩邊平方可得k₁，k₂為（x₀²-8）k²-2x₀y₀k+（y₀²-8）=0的兩根，
可得${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，
因?yàn)辄c(diǎn)R（x₀，y₀）在橢圓C上，
所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$，即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$；
（3）方法一①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由（2）知2k₁k₂+1=0，
所以$\frac{{2{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}+1=0$，故$y_1^2y_2^2=\frac{1}{4}x_1^2x_2^2$．
因?yàn)镻（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在橢圓C上，
所以$\frac{x_1^2}{24}+\frac{y_1^2}{12}=1，\frac{x_2^2}{24}+\frac{y_2^2}{12}=1$，
即$y_1^2=12-\frac{1}{2}x_1^2，y_2^2=12-\frac{1}{2}x_2^2$，
所以$（12-\frac{1}{2}x_1^2）（12-\frac{1}{2}x_2^2）=\frac{1}{4}x_1^2x_2^2$，
整理得$x_1^2+x_2^2=24$，
所以$y_1^2+y_2^2=（12-\frac{1}{2}x_1^2）+（12-\frac{1}{2}x_2^2）=12$
所以$O{P^2}+O{Q^2}=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=（x_1^2+x_2^2）+（y_1^2+y_2^2）=36$．
方法（二）①當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}=1}\end{array}}\right.$，
解得$x_1^2=\frac{24}{1+2k_1^2}，y_1^2=\frac{24k_1^2}{1+2k_1^2}$，
所以$x_1^2+y_1^2=\frac{24（1+k_1^2）}{1+2k_1^2}$，
同理，得$x_2^2+y_2^2=\frac{24（1+k_2^2）}{1+2k_2^2}$．
由（2）2k₁k₂+1=0，得${k_1}{k_2}=-\frac{1}{2}$，
所以$O{P^2}+O{Q^2}=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=\frac{24（1+k_1^2）}{1+2k_1^2}+\frac{24（1+k_2^2）}{1+2k_2^2}$
=$\frac{24（1+k_1^2）}{1+2k_1^2}+\frac{{24[{1+{{（-\frac{1}{{2{k_1}}}）}^2}}]}}{{1+2{{（-\frac{1}{{2{k_1}}}）}^2}}}=\frac{36+72k_1^2}{1+2k_1^2}=36$，
②當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP²+OQ²=36．
綜上：OP²+OQ²=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的運(yùn)用，以及直線和圓的位置關(guān)系：相切，考查點(diǎn)到直線的距離公式和直線方程的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．