Question

11．給出下列命題：
①存在實數(shù)α，使sinα•cosα=$\frac{1}{3}$；
②函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
③設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是兩個非零向量，若存在實數(shù)λ，使$\overrightarrow b$=λ$\overrightarrow a$，則|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$|；
④若sin（2x₁-$\frac{π}{4}$）=sin（2x₂-$\frac{π}{4}$），則x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ．
其中正確命題的序號是①②．

Answer 1

分析 ①根據(jù)是三角函數(shù)的有界性進行判斷，
②根據(jù)三角形的周期公式進行求解判斷，
③根據(jù)向量共線和模長關系進行判斷
④根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷
⑤利用特殊值法進行排除判斷．

解答 解：：①sinα•cosα=$\frac{1}{2}$sin2α∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則存在實數(shù)α，使sinα•cosα=$\frac{1}{3}$正確；故①正確，
②函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，則函數(shù)的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π；故②正確；
③設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是兩個非零向量，若存在實數(shù)λ，使$\overrightarrow b$=λ$\overrightarrow a$，當λ＞0時，有|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|；當λ＜0時，
有|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=||$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$||；故③錯誤；
④若sin（2x₁-$\frac{π}{4}$）=sin（2x₂-$\frac{π}{4}$），則有  2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+2x₂-$\frac{π}{4}$，或 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2x₂-$\frac{π}{4}$），k∈z，
∴x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故④不正確．
⑤當α=390°，β=30°時，滿足α＞β，但sinα=sinβ，故α＞β，則sinα＞sinβ錯誤，故⑤錯誤，
故答案為：①②

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學生的轉化和運算能力．