Question

1．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E．若AB=6，ED=2．
（1）求證：CE⊥AD；
（2）求AC的長．

Answer 1

分析 （1）利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知△AEC∽△ACB，即可求AC的長．

解答 （1）證明：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴CE⊥AD；
（2）解：由（1）可知△AEC∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC²=AE•AB=（6-2）×6=24，
∴AC=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力．