Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（x∈R，a≠0）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若b=-3a，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若a=1，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)f'（1）=0，f'（3）=24確定函數(shù)的解析式；
（2）對函數(shù)f（x）進行求導，令f'（x）＜0求單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）將a=1代入函數(shù)f（x）后對函數(shù)進行求導，根據(jù)f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為b≤-3x²在[-1，1]上恒成立求出b的值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx（x∈R），
∴f′（x）=3ax²+b．
由題意得f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，
解得a=1，b=-3，
∴f（x）=x³-3x．
（2）若b=-3a，f′（x）=3ax²+b=3a（x+1）（x-1），
若a＞0，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，1）．
若a＜0，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
（3）當a=1時，f（x）=x³+bx（x∈R），
又∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f′（x）=3x²+b≤0在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
即b≤-3x²在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
∴b≤（-3x²）_min=-3

點評 本題主要考查函數(shù)的增減性與其導函數(shù)的正負的關(guān)系．屬中檔題．