Question

11．若函數f（x），g（x）滿足$\int_{-2}^2$f（x）g（x）=0，則稱f（x），g（x）為區(qū)間[-2，2]上的一組正交函數．給出四組函數：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx； 
②f（x）=x²+1，g（x）=x²-1；
③f（x）=e^x，g（x）=e^x+1；
  ④f（x）=$\frac{1}{2}$x，g（x）=x²．
其中為區(qū)間[-2，2]上的正交函數的組數為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 函數f（x），g（x）滿足$\int_{-2}^2$f（x）g（x）=0，則y=f（x）g（x）為奇函數，判斷被積函數的奇偶性即可得出結論．

解答 解：函數f（x），g（x）滿足$\int_{-2}^2$f（x）g（x）=0，則y=f（x）g（x）為奇函數，
 對于①：f（x）=sinx，g（x）=cosx，∴y=sinx•cosx為奇函數，∴f（x），g（x）為區(qū)間[-2，2]上的一組正交函數；
對于②：f（x）=x²+1，g（x）=x²-1，y=（x²+1）（x²-1）偶函數，∴f（x），g（x）不是區(qū)間[-2，2]上的一組正交函數；
對于③：f（x）=e^x，g（x）=e^x+1，∴y=e^x（e^x+1），為非奇非偶函數，∴f（x），g（x）不是區(qū)間[-2，2]上的一組正交函數
對于④：f（x）=$\frac{1}{2}$x，g（x）=x²，∴y=$\frac{1}{2}$x³，為奇函數，∴f（x），g（x）為區(qū)間[-2，2]上的一組正交函數，
∴正交函數有2組，
故選：B．

點評 本題考查新定義，考查微積分基本定理的運用，屬于基礎題．