Question

20．已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2．
（1）求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值；
（2）若對(duì)?a，b∈（0，+∞），$\frac{1}{a}+\frac{4}≥|{2x-1}|-|{x+1}$|恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由|2x-1|-|x-1|≤$\frac{9}{2}$，通過(guò)分類(lèi)討論利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}=（\frac{1}{a}+\frac{4}）•\frac{a+b}{2}=\frac{5}{2}+\frac{2a}+\frac{2a}≥\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{2a}}=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$，
∴${（\frac{1}{a}+\frac{4}）_{min}}=\frac{9}{2}$，此時(shí)$a=\frac{2}{3}$，$b=\frac{4}{3}$．
（2）∵$\frac{1}{a}+\frac{4}≥|2x-1|-|x+1|$對(duì)?a，b∈（0，+∞）恒成立，
∴$|2x-1|-|x+1|≤\frac{9}{2}$$?\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x+1+x+1≤\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1-x-1≤\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-x-1≤\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$
$?-\frac{5}{2}≤x≤-1$或$-1＜x≤\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x≤\frac{13}{2}$，
$?-\frac{5}{2}≤x≤\frac{13}{2}$，∴$x∈[-\frac{5}{2}，\frac{13}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．