Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{c}{ax+b}（{a，b∈R}）$滿足f（x）的圖象與直線x+y-1=0相切于點(diǎn)（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對任意n∈N，定義f₀（x）=x，f_n+1（x）=f（f（x_n）），F(xiàn)_n（x）=f₀（x）+f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）．證明：對任意x＞y＞0，均有F_n（x）＞F_n（y）．

Answer 1

分析 （1）利用切點(diǎn)在函數(shù)圖象上和在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率得出a=b=c，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)函數(shù)的迭代關(guān)系，猜想函數(shù)的單調(diào)性，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）因?yàn)閥=f（x）的圖象過（0，1）點(diǎn)，
∴f（0）=1，所以$\frac{c}=1$．故c≠0且b=c①
又$f'（x）=-\frac{ac}{{{{（ax+c）}^2}}}$，
∵f'（0）=-1，即$-\frac{ac}{c^2}=-1$，∴$\frac{a}{c}=1$
∴a=c②
由①②可得$f（x）=\frac{1}{x+1}$
（2）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f₀（x）=x在（0，+∞）上為增函數(shù)
而${f_1}（x）=\frac{1}{1+x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，${f_2}（x）=\frac{1+x}{2+x}=1-\frac{1}{x+2}$在（0，+∞）上為增函數(shù)
${f_3}（x）=\frac{x+2}{2x+3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2（2x+3）}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，…
猜想f_2k（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f_2k+1（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
用數(shù)學(xué)歸納法證明f_2k（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)如下：
當(dāng)n=0時(shí)，f₀（x）=x在（0，+∞）上為增函數(shù)
假設(shè)當(dāng)n=2k時(shí)，f_2k（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)${f_{2k+2}}（x）=f（{f_{2k+1}}（x））=\frac{1}{{1+{f_{2k+1}}（x）}}$=$\frac{1}{{1+f（{f_{2k}}（x））}}=\frac{1}{{1+\frac{1}{{1+{f_{2k}}（x）}}}}=\frac{{{f_{2k}}（x）+1}}{{{f_{2k}}（x）+2}}=1-\frac{1}{{{f_{2k}}（x）+2}}$
由假設(shè)可知f_2k（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以f_2k+2（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
所以命題對于n=2（k+1）時(shí)也成立．故對于任意自然數(shù)k，f_2k（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
同理可證f_2k+1（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)      
當(dāng)k=0時(shí)${f_0}（x）+{f_1}（x）=x+\frac{1}{1+x}=（x+1）+\frac{1}{x+1}-1$在（0，+∞）上為增函數(shù)．
∵f₀（x）=x；f₁（x）=f（x），又由f_n+1（x）=f（f_n（x））
當(dāng)k=1時(shí)f₂（x）+f₃（x）=f₀[f₂（x）]+f₁[f₂（x）]由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f₂（x）+f₃（x）在（0，+∞）上也為增函數(shù)．
類似：f_2k（x）+f_2k+1（x）=f₀[f_2k（x）]+f₁[f_2k（x）]由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f_2k（x）+f_2k+1（x）在（0，+∞）上也為增函數(shù)．
當(dāng)n=2m+1（m∈N）時(shí)，F(xiàn)_n（x）=[f₀（x）+f₁（x）]+[f₂（x）+f₃（x）]+…+[f_2m（x）+f_2m+1（x）]
易知此時(shí)F_2m+1（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
所以對任意x＞y＞0，F(xiàn)_2m+1（x）＞F_2m+1（y）
當(dāng)n=2m（m∈N）時(shí)，F(xiàn)_n（x）=[f₀（x）+f₁（x）]+[f₂（x）+f₃（x）]+…+[f_2m-2（x）+f_2m-1（x）]+f_2m（x）
易知此時(shí)F_2m（x）在（0，+∞）上也為增函數(shù)
所以對任意x＞y＞0，F(xiàn)_2m（x）＞F_2m（y）
綜上所述：對任意x＞y＞0，F(xiàn)_n（x）＞F_n（y）

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的意義和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明，難度較大．