Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|的最小值，并求取的最小值時x的取值范圍；
（2）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法，進行求解即可．
（2）將g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R，轉(zhuǎn)化為（x）+m≠0在R上恒成立，即f（x）+m=0在R上無解，結(jié)合函數(shù)的最值進行求解即可．

解答 解：（1）由絕對值三角不等式可得，
f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{2x-3≤0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]]時等號成立，故f（x）的最小值為2．
（2）g（x）=$\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R等價于f（x）+m≠0在R上恒成立，
即f（x）+m=0在R上無解，所以m＞-2，即實數(shù)m的取值范圍為（-2，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的相關(guān)知識，考查考生的運算求解能力和等價轉(zhuǎn)化能力．理解g（x）的定義域為R等價于f（x）+m≠0在R上恒成立是求解本題的關(guān)鍵．