在平面直角坐標系中,動點到兩點,的距離之和等于,設(shè)點的軌跡為曲線,直線過點且與曲線交于,兩點.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)是否存在△面積的最大值,若存在,求出△的面積;若不存在,說明理由.
(1);(2)存在面積的最大值為.
解析試題分析:(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)易得橢圓方程;(2)先設(shè)過點E的直線方程,然后把直線方程和橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程,解出,,則 ,從而得△面積的表達式,再由不等式性質(zhì)求得面積最大值.
試題解析:(1)由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以,為焦點,
長半軸長為2的橢圓, 3分
故曲線C的方程為. 6分
(2)存在面積的最大值. 7分
因為直線過點,可設(shè)直線的方程為或(舍),
則整理得 . 8分
由.設(shè).
解得 , .則 .
因為. 11分
設(shè),,.
則在區(qū)間上為增函數(shù).所以.
所以,當且僅當時取等號,即.
所以的最大值為. 14分
考點:1、橢圓的標準方程及性質(zhì);2、直線與橢圓相交問題;3、不等式的性質(zhì).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點為,準線為,,以為圓心的圓與相切于點,的縱坐標為,是圓與軸除外的另一個交點.
(I)求拋物線與圓的方程;
(II)過且斜率為的直線與交于兩點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓,圓,動圓與已知兩圓都外切.
(1)求動圓的圓心的軌跡的方程;
(2)直線與點的軌跡交于不同的兩點、,的中垂線與軸交于點,求點的縱坐標的取值范圍.
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經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.
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在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設(shè)點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.
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給定圓:及拋物線:,過圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為,如果線段的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列,求直線的方程.
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已知橢圓的中心在坐標原點,右準線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若圓與軸相切,求圓被直線截得的線段長.
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已知橢圓C:的離心率為,
直線:y=x+2與原點為圓心,以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于,兩點.設(shè)直線的斜率,在軸上是否存在點,使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在,求出實數(shù)的取值范圍,如果不存在,請說明理由.
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