Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（Ⅰ）若a≤1，證明：x≥1時，x²≥f（x）恒成立；
（Ⅱ）當a＞0時，討論函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，從而證明即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，通過討論a的范圍，判斷最小值的符號，求出函數(shù)的零點個數(shù)即可．

解答 證明：（Ⅰ）令g（x）=x²-ax+lnx，（x≥1），
則g′（x）=2x-a+$\frac{1}{x}$，
∵x≥1，∴g′（x）=2x-a+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$-a，
∵a≤1，∴g′（x）＞0，
∴g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=1-a≥0，
即，當x≥1時，x²≥f（x）恒成立；
解：（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
∵a＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$＞0，
又∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$是增函數(shù)，
∴在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＜0，y=f（x）是減函數(shù)，
在區(qū)間（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的最小值是f（$\frac{1}{a}$）=1+lna，
①當a＞$\frac{1}{e}$時，∵f（$\frac{1}{a}$）＞0，∴f（x）沒有零點，
②a=e時，∵f（$\frac{1}{a}$）=0，∴f（x）有且只有1個零點，
③0＜a＜$\frac{1}{e}$時，∵f（$\frac{1}{a}$）＜0，f（1）=a＞0，
又當x₀＞$\frac{1}{a}$，且x₀＞e^a時，f（x₀）＞f（e^a）=a（e^a-1）＞0，
故函數(shù)y=f（x）有且只有2個零點，
綜上，a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）沒有零點，
a=e時，f（x）有且只有1個零點，
0＜a＜$\frac{1}{e}$時，函數(shù)y=f（x）有且只有2個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．