Question

如圖，已知橢圓C的方程為x2+

y2

2

=1，點P（a，b）的坐標(biāo)滿足a2+

b2

2

≤1，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：
（1）點Q的軌跡方程；
（2）點Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先把A、B兩點和點Q的坐標(biāo)設(shè)出來，再分A、B兩點的橫坐標(biāo)相等和不相等兩種情況分別設(shè)出直線l的方程，再利用A、B兩點既在直線上又在橢圓C上，可以找到A、B兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后利用中點坐標(biāo)公式，就可求點Q的軌跡方程（注意要反過來檢驗所求軌跡方程是否滿足已知條件）；
（2）先找到曲線L與y軸的交點（0，0），（0，b）以及與x軸的交點坐標(biāo)（0，0），（a，0），再對a和b的取值分別討論，分析出與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)（注意點P（a，b）的坐標(biāo)滿足a2+

b2

2

≤1）．

解答：解：（1）設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），點Q的坐標(biāo)為Q（x，y）．當(dāng)x₁≠x₂時，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-a）+b
由已知

x

2 1

+

y 2 1

2

=1，

x

2 2

+

y 2 2

2

=1①
y₁=k（x₁-a）+b，y₂=k（x₂-a）+b②
由①得(x1+x2)(x1-x2)+

1

2

(y1+y2)(y1-y2)=0③
由②得y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2ak+2b④
由③④及x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，k=

y1-y2

x1-x2

，
得點Q的坐標(biāo)滿足方程2x²+y²-2ax-by=0⑤
當(dāng)x₁=x₂時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a，0）．
顯然點Q的坐標(biāo)滿足方程⑤
綜上所述，點Q的坐標(biāo)滿足方程2x²+y²-2ax-by=0．
設(shè)方程⑤所表示的曲線為L，
則由

2x2+y2-2ax-by=0 x2+ y2 2 =1

得（2a²+b²）x²-4ax+2-b²=0．
因為△=8b2(a2+

b2

2

-1)，由已知a2+

b2

2

≤1，
所以當(dāng)a2+

b2

2

=1時，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）．
當(dāng)a2+

b2

2

＜1時，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點．
因為（0，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內(nèi)．
故點Q的軌跡方程為2x²+y²-2ax-by=0
（2）由

2x2+y2-2ax-by=0 x=0

解得曲線L與y軸交于點（0，0），（0，b）．
由

2x2+y2-2ax-by=0 y=0

解得曲線L與x軸交于點（0，0），（a，0）
當(dāng)a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個交點（0，0）．
當(dāng)a=0且0＜|b|≤

2

，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點（0，b）與（0，0）．
同理，當(dāng)b=0且0＜|a|≤1，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點（a，0）與（0，0）．
當(dāng)0＜|a|＜1且0＜|b|＜

2(1-a2)

，即點P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時，曲線L與坐標(biāo)軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及軌跡方程問題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點和重點．