如圖,已知橢圓C的方程為,點P(a,b)的坐標(biāo)滿足,過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點,點Q為線段AB的中點,求:
(1)點Q的軌跡方程;
(2)點Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù).

【答案】分析:(1)先把A、B兩點和點Q的坐標(biāo)設(shè)出來,再分A、B兩點的橫坐標(biāo)相等和不相等兩種情況分別設(shè)出直線l的方程,再利用A、B兩點既在直線上又在橢圓C上,可以找到A、B兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系,最后利用中點坐標(biāo)公式,就可求點Q的軌跡方程(注意要反過來檢驗所求軌跡方程是否滿足已知條件);
(2)先找到曲線L與y軸的交點(0,0),(0,b)以及與x軸的交點坐標(biāo)(0,0),(a,0),再對a和b的取值分別討論,分析出與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù)(注意點P(a,b)的坐標(biāo)滿足)..
解答:解:(1)設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),點Q的坐標(biāo)為Q(x,y).當(dāng)x1≠x2時,設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x-a)+b
由已知
y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b②
由①得
由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b④
由③④及,
得點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0⑤
當(dāng)x1=x2時,k不存在,此時l平行于y軸,因此AB的中點Q一定落在x軸上,即Q的坐標(biāo)為(a,0).
顯然點Q的坐標(biāo)滿足方程⑤
綜上所述,點Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0.
設(shè)方程⑤所表示的曲線為L,
則由
得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0.
因為,由已知
所以當(dāng)時,△=0,曲線L與橢圓C有且只有一個交點P(a,b).
當(dāng)時,△<0,曲線L與橢圓C沒有交點.
因為(0,0)在橢圓C內(nèi),又在曲線L上,所以曲線L在橢圓C內(nèi).
故點Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0
(2)由解得曲線L與y軸交于點(0,0),(0,b).
解得曲線L與x軸交于點(0,0),(a,0)
當(dāng)a=0,b=0,即點P(a,b)為原點時,(a,0)、(0,b)與(0,0)重點,曲線L與坐標(biāo)軸只有一個交點(0,0).
當(dāng)a=0且,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時,點(a,0)與(0,0)重合,曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點(0,b)與(0,0).
同理,當(dāng)b=0且0<|a|≤1,即點P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時,曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點(a,0)與(0,0).
當(dāng)0<|a|<1且,即點P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時,曲線L與坐標(biāo)軸有三個交點(a,0)、(0,b)與(0,0).
點評:本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及軌跡方程問題.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,由于集中交匯了直線,圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容,綜合性強(qiáng),能力要求高,還涉及到函數(shù),方程,不等式,平面幾何等許多知識,可以有效的考查函數(shù)與方程的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想,因此,這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點和重點.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C的方程為x2+
y2
2
=1
,點P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+
b2
2
≤1
,過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點,點Q為線段AB的中點,求:
(1)點Q的軌跡方程;
(2)點Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù).

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x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),B是它的下頂點,F(xiàn)是其右焦點,BF的延長線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別交于P、Q兩點,若點P恰好是BQ的中點,則此橢圓的離心率是
 

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