Question

12．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，A、B，為拋物線上兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，可得直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，即可求出△AOB的面積．

解答 解：如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
聯(lián)立直線AB與拋物線的方程可得A（3，2$\sqrt{3}$），B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
所以|AB|=$\sqrt{（3-\frac{1}{3}）^{2}+（2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
而原點(diǎn)到直線AB的距離為d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)直線AB的傾斜角為120°時(shí)，同理可求．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的相交問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．