Question

7．某商場(chǎng)每天以每件100元的價(jià)格購(gòu)入A商品若干件，并以每件200元的價(jià)格出售，若所購(gòu)進(jìn)的A商品前8小時(shí)沒(méi)有售完，則商場(chǎng)對(duì)沒(méi)賣出的A商品以每件60元的低價(jià)當(dāng)天處理完畢（假定A商品當(dāng)天能夠處理完）．該商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了100天A商品在每天的前8小時(shí)的銷售量，制成如表格．

前8小時(shí)的銷售量t（單位：件）	5	6	7
頻    數(shù)	40	35	25

￢（Ⅰ）若某天該商場(chǎng)共購(gòu)入7件A商品，在前8個(gè)小時(shí)售出5件． 若這些產(chǎn)品被7名不同的顧客購(gòu)買，現(xiàn)從這7名顧客中隨機(jī)選3人進(jìn)行回訪，記X表示這3人中以每件200元的價(jià)格購(gòu)買的人數(shù)，求X的分布列；
（Ⅱ）將頻率視為概率，要使商場(chǎng)每天購(gòu)進(jìn)A商品時(shí)所獲得的平均利潤(rùn)最大，則每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)幾件A商品，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）設(shè)商場(chǎng)銷售A商品獲得的平均利潤(rùn)為ξ（單位：元），依題意，半頻率視為概率，為使每天獲得的平均利潤(rùn)最大，則每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)的件數(shù)為5件或6件或7件，分別求出相應(yīng)的平均利潤(rùn)，由此能求出商場(chǎng)每天購(gòu)進(jìn)6件A商品時(shí)獲得的平均利潤(rùn)最大．

解答 解：（Ⅰ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{5}{35}$=$\frac{1}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{20}{35}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{10}{35}$=$\frac{2}{7}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

（Ⅱ）設(shè)商場(chǎng)銷售A商品獲得的平均利潤(rùn)為ξ（單位：元），
依題意，半頻率視為概率，為使每天獲得的平均利潤(rùn)最大，
則每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)的件數(shù)為5件或6件或7件，
當(dāng)購(gòu)進(jìn)5件時(shí)，E（ξ）=100×5=500，
當(dāng)購(gòu)進(jìn)6件時(shí)，E（ξ）=（100×5-40）×$\frac{40}{100}$+100×6×$\frac{35+25}{100}$=544，
當(dāng)購(gòu)進(jìn)件時(shí)，E（ξ）=（100×5-80）×$\frac{40}{100}$+（100×6-40）×$\frac{35}{100}$+100×$7×\frac{25}{100}$=539，
∴商場(chǎng)每天購(gòu)進(jìn)6件A商品時(shí)獲得的平均利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，考查要使商場(chǎng)每天購(gòu)進(jìn)A商品時(shí)所獲得的平均利潤(rùn)最大，則每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)幾件A商品的求法，是中檔題，注意數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)的合理運(yùn)用．