Question

【題目】設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞增，其中.

（1）求的值；

（2）若，當(dāng)時，試比較與的大小關(guān)系（其中是的導(dǎo)函數(shù)），請寫出詳細(xì)的推理過程；

（3）當(dāng)時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3) .

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)結(jié)合恒成立的條件可得；

(2)結(jié)合題意可知，據(jù)此可得函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合函數(shù)的解析式可得.

(3)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的特征和恒成立的條件可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）∵在單調(diào)遞增，∴在上恒成立，即恒成立.∵當(dāng)時， ， ∴，又，∴，∴，∴.

（2）由（1）可知，∴ ，∴，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，令，則在單調(diào)遞減，∵，∴，使得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∵，∴，∴，又兩個函數(shù)的最小值不同時取得： ，即： .

（3）∵恒成立，即： 恒成立，令，則，由（1）得： 即，∴,即： ，∴，∴，當(dāng)時，∵，∴ ，∴單調(diào)遞增，∴，符合題意；當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增， ，∴單調(diào)遞增，∴，符合題意；當(dāng)時， 在上是增函數(shù)，∴ ，∴單調(diào)遞增，∴，符合題意；當(dāng)時， ，∴在上單調(diào)遞增，又，且，∴在存在唯一零點，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時， ，∴在單調(diào)遞減，∴，不合題意，綜上： .