Question

17．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，M為側(cè)棱PC的中點．
（1）求異面直線AM與PB所成角；
（2）求直線AM與平面BPC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PB}$的向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積直接求解異面直線AM與PB所成角的大小．
（2）求出平面BPC的法向量，AM的向量，利用空間向量的數(shù)量積以及直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），C（2，4，0），M（1，2，1），
∵$\overrightarrow{AM}$=（1，2，1），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{PB}$=（1，2，1）•（2，0，-2）=1×2-1×2=0，
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{PB}$，則AM⊥PB，
∴異面直線AM與PD所成角為90°．
（2）設(shè)平面BPC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BC}=（0，4，0），\overrightarrow{BP}=（-2，0，2）$，并且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}4y=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$，令x=1得z=1，y=0，
∴平面MBD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{AM}$=（1，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)直線AM與平面BPC所成角為θ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AM與平面BPC所成角的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間異面直線所成角以及直線和平面所成角的大小的計算，建立坐標(biāo)系，利用向量法以及向量的數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵．考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．