Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁（-c，0）是左焦點，圓x²+y²=c²與雙曲線左支的一個交點是P，若直線PF₁與雙曲線右支有交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)直線PF的方程為y=k（x+c），由直線和圓相交，可得k不為0，求得圓和雙曲線的交點P，運用兩點的斜率公式，由題意可得k＜$\frac{a}$，解不等式可得b＞2a，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x+c），即kx-y+kc=0，
由直線和圓有交點，可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜c，
解得k≠0．
聯(lián)立圓x²+y²=c²與雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得交點P，設(shè)為（-$\frac{a}{c}$$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{^{2}}{c}$）．
可得k=$\frac{\frac{^{2}}{c}}{-\frac{a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}+c}$＞0，
由題意可得k＜$\frac{a}$，
結(jié)合a²+b²=c²，
a$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$＜c²-ab，
化簡可得b＞2a，即有b²＞4a²，
可得c²＞5a²，
即有e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{5}$．
故答案為：（$\sqrt{5}$，+∞）

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用直線和圓相交的條件：d＜r，考查聯(lián)立圓方程和雙曲線的方程求得交點，運用直線PF的斜率小于漸近線的斜率是解題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一定的難度．