Question

12．如圖，若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的大小為120°．

Answer 1

分析 由已知（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{a}=0$，展開(kāi)數(shù)量積公式，代入向量的模，求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的余弦值，則答案可求．

解答 解：如圖，
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ（0°≤θ≤180°），
由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，
得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{a}=0$，即${\overrightarrow{a}}^{2}+|\overrightarrow||\overrightarrow{a}|cosθ=0$，
∴1+2cosθ=0，得cosθ=-$\frac{1}{2}$．
∴θ=120°．
故答案為：120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，考查了向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是中檔題．