11．已知三棱錐P-ABC的側(cè)棱的長均為4，記三棱錐P-ABC三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，則當S1+S2+S3取到最大值時，三棱錐P-ABC外接球的表面積為48π．

分析 由題意可得，三棱錐P-ABC三個側(cè)面的面積和S1+S2+S3取到最大值時，三棱錐P-ABC三條側(cè)棱兩兩互相垂直，三棱錐P-ABC的外接球就是以PA、PB、PC為棱的正方體的外接球，由此求出三棱錐P-ABC外接球的半徑，則三棱錐P-ABC外接球的表面積可求．

解答 解：如圖，三棱錐P-ABC的側(cè)棱的長均為4，
設(shè)PA與PB的夾角為θ，則${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}PA•PB•sinθ$=$\frac{1}{2}×4×4sinθ$．
∴當$θ=\frac{π}{2}$時，S△PAB有最大值．
則三棱錐P-ABC三個側(cè)面的面積和S1+S2+S3取到最大值時，三棱錐P-ABC三條側(cè)棱兩兩互相垂直．
∴三棱錐P-ABC的外接球就是以PA、PB、PC為棱的正方體的外接球，
設(shè)其外接球半徑為R，則（2R）2=42+42+42=48，∴R2=12．
∴三棱錐P-ABC外接球的表面積為4πR2=4π×12=48π．
故答案為：48π．

點評 本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力和思維能力，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和分割補形法，是中檔題．

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