Question

14．直線mx-ny+2=0（m，n＞0）被圓x²+y²+2x-2y+1=0截得弦長為2，則$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出直線mx-ny+2=0過圓心（-1，1），從而得出m+n=2，再利用基本不等式能求出$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：由x²+y²+2x-2y+1=0得：（x+1）²+（y-1）²=1，
∴該圓的圓心為O（-1，1），半徑r=1；
又直線mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）被圓x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦長為2，
∴直線mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓心O（-1，1），
∴-m-n+2=0，即m+n=2，又m＞0，n＞0，
∴$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{2（m+n）}{m}$+$\frac{m+n}{2n}$=2+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$+$\frac{1}{2}$≥$\frac{5}{2}$+2•$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{4}{3}$，n=$\frac{2}{3}$時取“=”．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．