Question

6．已知橢圓G的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其短軸的兩端點(diǎn)為A（0，1），B（0，-1）．
（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若C，D是橢圓G上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線BC與x軸交于點(diǎn)M，判斷以線段MD為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)A，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知設(shè)橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，（a＞1），e²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)C（x₀，y₀），則D（-x₀，y₀），x₀≠0，求出M（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，0），推導(dǎo)出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$≠0，由此得到點(diǎn)A不在以線段MD為直徑的圓上．

解答 解：（1）∵橢圓G的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其短軸的兩端點(diǎn)為A（0，1），B（0，-1），
∴由已知設(shè)橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，（a＞1），
且e²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得a²=2，
∴橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設(shè)C（x₀，y₀），則D（-x₀，y₀），x₀≠0，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直線BC的方程式y(tǒng)=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}x-1$，
令y=0，得${x}_{M}=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，∴M（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-x₀，y₀-1），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{-{{x}_{0}}^{2}}{{y}_{0}+1}$-y₀+1，
又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{1}=1$，
代入，得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-1）}{{y}_{0}+1}$+1-y₀=y₀-1，
∵-1＜y₀＜1，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$≠0，∴∠MAD≠90°，
∴點(diǎn)A不在以線段MD為直徑的圓上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查點(diǎn)是否在圓上的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．