Question

11．對于下列命題：
①若命題p：?x∈R，使得tanx＜x，命題q：?x∈R⁺，lg²x+lgx+1＞0則命題“p且?q”是真命題；
②若隨機變量ξ～B（n，p），Eξ=6，Dξ=3，則$P（ξ=1）=\frac{3}{4}$
③“l(fā)gx，lgy，lgz成等差數(shù)列”是“y²=xz”成立的充要條件；
④已知ξ服從正態(tài)分布N（1，2²），且P（-1≤ξ＜1）=0.3，則P（ξ≥3）=0.2
其中真命題的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①分別判斷命題p，q的真假，結(jié)合復合命題真假關(guān)系進行判斷，
②根據(jù)隨機變量的期望和方差公式進行求解判斷，
③根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷，
④根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進行求解判斷．

解答 解：①若命題p：?x∈R，使得tanx＜x，則當x=$\frac{5π}{4}$時，tan$\frac{5π}{4}$=-1，滿足tanx＜x，故p是真命題，
命題q：?x∈R⁺，lg²x+lgx+1＞0為真命題，
∵判別式△═1-4=-3＜0，∴l(xiāng)g²x+lgx+1＞0恒成立，則命題“p且?q”是假命題，故①錯誤，
②若隨機變量ξ～B（n，p），由Eξ=6，Dξ=3，得np=6，npq=3，
則q=$\frac{1}{2}$，即p=$\frac{1}{2}$，n=12，
則P（ξ=1）=${C}_{6}^{1}$$•\frac{1}{2}$$•（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{3}{32}$，
則$P（ξ=1）=\frac{3}{4}$錯誤，故②錯誤，
③“l(fā)gx，lgy，lgz成等差數(shù)列”則2lgy=lgx+lgz，即lgy²=lgxy，
則y²=xz，且x，y，z＞0，此時y²=xz成立，
反之當x=0，y=0，z=0時，滿足y²=xz，但lgx，lgy，lgz無意義，即必要性不成立，
則“l(fā)gx，lgy，lgz成等差數(shù)列”是“y²=xz”成立的充要條件錯誤，故③錯誤，
④已知ξ服從正態(tài)分布N（1，2²），且P（-1≤ξ＜1）=0.3，則P（1≤ξ＜3）=P（-1≤ξ＜1）=0.3，
則P（ξ≥3）=0.5-P（1≤ξ＜3）=0.5-0.3=0.2，故④正確，
故正確的是④，
故選：A

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度不大．