Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，當(dāng)n=1時(shí)，得$a_1^2+2{a_1}=4{a_1}+3$，解出即可得出．
（Ⅱ） 由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，可知$a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}=4{S_{n+1}}+3$．相減化為及其a_n＞0可得a_n+1-a_n=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（III）由a_n=2n+1，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，
當(dāng)n=1時(shí)，得$a_1^2+2{a_1}=4{a_1}+3$，
解得a₁=-1，a₁=3．
由a_n＞0，∴a₁=3．
（Ⅱ） 由$a_n^2+2{a_n}=4{S_n}+3$①
可知$a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}=4{S_{n+1}}+3$．②
由②-①可得$a_{n+1}^2-a_n^2+2（{a_{n+1}}-{a_n}）=4（{S_{n+1}}-{S_n}）=4{a_{n+1}}$，
即$2（{a_{n+1}}+{a_n}）=a_{n+1}^2-a_n^2=（{a_{n+1}}+a）（{a_{n+1}}-a）$，
由于a_n＞0可得a_n+1-a_n=2．
又a₁=3．∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n+1．
（III）由a_n=2n+1，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．\
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[{（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}）-（\frac{1}{2n+3}）}]=\frac{n}{3（2n+3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．