Question

2．已知函數(shù)$f（x）=4cos?x•sin（{?x+\frac{π}{4}}）（?＞0）$的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)周期公式即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）由角的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 解：（I）∵$f（x）=4cos?x•sin（{?x+\frac{π}{4}}）（?＞0）$
=$2\sqrt{2}cosωx（sinωx+cosωx）=\sqrt{2}（sin2ωx+cos2ωx+1）=2sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}=π，可得：ω=1$．
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}，ω=1$．
（Ⅱ）∵$當(dāng)x∈[0，\frac{π}{2}]時(shí)，（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{π}{4}，π+\frac{π}{4}]，令2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}解得x=\frac{π}{8}$；
∴$y=f（x）在[0，\frac{π}{8}]上單調(diào)遞增；在[\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]上單調(diào)遞減$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．