Question

12．已知一圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，-3）和B（-2，-5），且圓心C在直線l：x-2y-3=0上，求此圓的方程．

Answer 1

分析 （解法一）：先求出線段AB的中垂線的方程，再把它和圓心C在直線l的方程聯(lián)立方程組，求得圓心坐標(biāo)，可得半徑，從而求得此圓的方程．
（解法二）：待定系數(shù)法，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r² ，由條件聯(lián)立方程組求出a、b、r的值，從而求得此圓的方程．

解答 解：（解法一）因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，-3），B（-2，-5），所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-4），
又 ${k_{AB}}=\frac{-5-（-3）}{-2-2}=\frac{1}{2}$，所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-2x-4．
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{y=-2x-4}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}}\right.$．…（6分）
所以，圓心坐標(biāo)為C（-1，-2），半徑r=|CA|=$\sqrt{{{（2+1）}^2}+{{（-3+2）}^2}}=\sqrt{10}$，
所以，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+1）²+（y+2）²=10．
（解法二）解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r² ，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^2}+{（-3-b）^2}={r^2}…（1）\\{（-2-a）^2}+{（-5-b）^2}={r^2}..（2）\\ a-2b-3=0…（3）\end{array}\right.$，
由（2）-（1）可得2a+b+4=0，∵$\left\{\begin{array}{l}2a+b+4=0\\ a-2b-3=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2\end{array}\right.$，
綜上所述，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y+2）²=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的彼岸準(zhǔn)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．