Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)為a-1，4，2a，記前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若S_k=30，求a和k的值；
（2）設(shè)b_n=$\frac{Sn}{n}$，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．

Answer 1

分析 （1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出；
（2）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，化簡得到{b_n}是等差數(shù)列，即可求出b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的和．

解答 解　（1）由已知得a₁=a-1，a₂=4，a₃=2a，
又a₁+a₃=2a₂，
∴（a-1）+2a=8，即a=3．
∴a₁=2，公差d=a₂-a₁=2．  
由S_k=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d，得2k+$\frac{k（k-1）}{2}$×2=30，
即k²+k-30=0，解得k=5或k=-6（舍去）．
∴a=3，k=5．
（2）由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，得S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+n．
∴b_n=$\frac{Sn}{n}$=n+1．
∴{b_n}是等差數(shù)列．
∴b_4n-1=（4n-1）+1=4n，
則b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=4+8+12+…+4n=$\frac{（4+4n）n}{2}$．
∴${b_3}+{b_7}+{b_{11}}+…+{b_{4n=1}}=2{n^2}+2n$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．