Question

8．在四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，若直線PC與平面PDB所成的角為30°，則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 由題意，連接AC交BD于H，則AC⊥平面PDB，連接PH，則∠CPH是直線PC與平面PDB所成的角，求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑，即可求出四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：由題意，連接AC交BD于H，則AC⊥平面PDB，
連接PH，則∠CPH是直線PC與平面PDB所成的角，即∠CPH=30°，
∵CH=$\sqrt{2}$，
∴PC=2$\sqrt{2}$，
∴PD=2$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4πR²=12π．
故答案為：12π．

點(diǎn)評 本題考查四棱錐P-ABCD的外接球的表面積，考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．